TOPOLOGIE

Geschichte der Topologie

traditionelle Grundlagen neuere Entwicklungen

Der Beginn der (algebraischen) Topologie wird normalerweise bei Eulers Problem in Königsberg gesehen, die 7 Brücken der Stadt in einem Spaziergang je und nur einmal zu überqueren. Er bewies 1736, durch den Einsatz der Graphentheorie, dass dies im Falle Petersburgs nicht möglich war - und empfahl den Bau einer weiteren Brücke, die das Königsberger Brückenproblem lösen würde.

Kant erklärte, Raum sei nicht eine Eigenschaft von Dingen, sondern eine Weise des Erscheinens und der Beschreibung physikalischer Körper - was bereits völlig ausreicht um zu erklären, warum man sich erst mit dem Raum beschäftigen muss, bevor man die aus ihm geborenen Erscheinungen und Beschreibungen auf ihren Realitätsgehalt prüfen will.

Ich würde die Anfänge aber noch etwas früher ansetzen, denn, um Raum zu erkennen und Dinge darin verorten zu können, muss man den Raum erst "begreifen", "verstehen" - also meist erst mal sehen (wobei "Sehen" in der abstrakten Mathematik natürlich was ganz anderes ist als bei "normalen" Menschen). Das räumliche Sehen setzte nun eben erst ein in der Renaissance, mit der "Entdeckung der Perspektive und des Flucht-Punktes wieder ein, nachdem hier einiges Wissen der Römer für lange Zeit verloren gegangen war.

Eine ganz besondere Topographie, also Praxis der Topologie, war allerdings unterschwellig doch da, denn gerade das Gesicht des Menschen zeigt sehr viel mehr als bloss eine gewellte und gedellte Oberfläche. Es gibt uns einen Zugang zum Du über "das Antlitz", die Topographie des persönlichen Ausdrucks, der ebenso Charakter wie Wille und Absicht beinhaltet. Lesen lässt sich diese Topographie allerdings nicht so einfach und linear wie eine normale Landkarte. Das Lesen bedingt einen tiefern, dialogischen Zugang zur Person - weshalb ich eine Charakterkunde nach Kopfform oder ähnlichem wie bei Gall (Phrenologie) oder auch Physiognomik (Lavater) für totalen Schabernack halte.

Seltsamerweise, nö, aufgrund obiger Ausführungen also logischerweise, hat sich das Portrait also viel früher entwickelt als die Darstellung anderer Räume und Formen. Dasjenige der Nophretete, obwohl 3500 Jahre alt, wird, wohl zu recht, heute noch bewundert - als Ausdruck einer starken Frau. (Es wurde kürzlich allerdings vom Kunsthistoriker Henri Stierlin auch der Verdacht geäussert, dass es sich bloss um eine zwecks Demonstration erst im 19. JH. hergestellte Präsentation handle .... oh Peinlichkeit ...

Dazwischen, also zwischend dem Porträt und der Wiederentdeckung der Perspektive, lägen noch die Anfangsgründe der Geschichte der Kartographie, die zugleich eine Geschichte der Weltvermessung, Weltaneignung und Weltbildproduktion ist. Na ja, da hab ich mich aber getäuscht, wie vermutlich mancher unter Ihnen, der mir das geglaubt hat. Die erste Karte wurde nämlich bereits 3800 bC erstellt, also vo fast 6000 Jahren, in Mesopotamien.

Wichtig für Kartographie, also Topographie, wie Topologie, ist Descartes (1596-1650), der mit seinem rechtwinkligen Koordinaten:-System die orthogonaler Ordnung für lange Zeit zu DER ORDNUNG erklärte. Sein Glaube an Berechenbarkeit und rechtwinklige Ordnung prägt heute noch die Mehrheit der Bürger, obwohl er damit gleich selbst übertrieben hat in Der Mensch als Maschine.

Für eine Teilmenge \mathcal{M} des \mathbb{R}^{n} (der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

  1. \mathcal{M} ist beschränkt und abgeschlossen.
  2. Jede offene Überdeckung von \mathcal{M} enthält eine endliche Teilüberdeckung, d.h\mathcal{M} ist kompakt.

Hier können Sie aufatmen. Das is alles und wird noch aufgearbeitet.

Ein erstes Resultat zeigt sich hier schon: Wir müssen nicht wie in der Teilchenphysik andere Dimensionen bemühen, um Seltsames zu verstecken, sondern wir leben alle in einer Welt - allerdings mit unterschiedlichen Koordinaten und in unterschiedlichen Vektorräumen oder Spannungsfeldern. An Stelle der Topologie, die auch ganze Dimensionen definiert, könnte man also, analog zur Geometrie, der Bemessung der Erde, den Ausdruck Noologie verwenden, wäre der nicht etwas verballhornt worden (im deutschen Sprachraum, drum der englische Link). Die Topologie des Geistes wird sich hier bloss mit Teilräumen, Teiluniversen des Raum-Zeit-Kontinuums befassen und die Auswirkungen anderer Dimensionen, also der Transzendenz (Religionen, Esotherik etc) bloss in ihren Wirkungen, also phänomenologisch erfassen.

Nun wurde die Topologie aber erfreulicherweise nicht bloss von Mathematikern formalisiert, was den Meisten meist ungeniessbar wenn nicht gar unverständlich bleibt, sondern auch in "praktischeren" Wissenschaften eingesetzt.

Vidal de la Blache wies bereits im 19. JH. darauf hin, dass menschliche Handlungen erhebliche Rückwirkungen auf die Natur haben, und nicht nur die Natur auf den Menschen. (s. Jemen: Der Mensch als dominanter Umweltfaktor). Während dem in klassischen landwirtschftlichen Gesellschaften die Natur fast völlig die Kultur bestimmt, hat sich das mit der Mechanisierung heute zunehmend ins Gegenteil verkehrt. Die Landschaft wird umgestaltet, meist verbraucht; Boden (Erosion), Wasser (Verschmutzung), Luft (Versauerung), ja inzwischen das gesamte Klima (s. global warming) ruiniert.

Ja sogar die 4. Dimension, die Zeit, wurde verkrümmt. Alles muss immer schneller geschehen. (S. Geschichte der Eisenbahnreise von Schivelbusch: Beschleunigung bewirkt nicht wirklich eine Schrumpfung des Raumes - sondern eine Ablösung der Herrschaft des Raumes durch das Regime der Zeit.)

So war und ist Kurt Lewins Feldtheorie (2, 3) zwar in der Psychologie ein anerkannter, leider aber wenig angewandter Ansatz. Noch vergessener sein hodologischer Raum. Hodologie wäre die Lehre von den Wegen, den optimalen oder auch bloss möglichen Wegen zwischen Spannungsfeldern - wurde aber leider kaum weiter entwickelt.

Günzel sieht einen neuen Wechsel im Denken, den sog. spatial turn, der heute auf den von Rorty 1967 eingeläuteten linguistic turn folgt.

linguistic turn

Der liinguistic turn ist ein Kind von Machs Positivismus, Mach und seine Schule waren der Ueberzeugung, dass nur das zählt, was sich durch Erfahrung belegen, und was sich berechnen lässt.

Da Wittgenstein die Grundlage geliefert hat für den linguistic turn - aber auch am Anfang der Entwickung zur analytischen Philosophie (Theoretische Philosophie I, wissenschaftliche Philosophie, Philosophie als Wissenschaft) stand, bedarf er einer intensiveren Analyse:

  1. Wittgenstein: Analysen
  2. Tractatus practico-philosophicus: Ludwig Wittgensteins Tractatus logico-philosophicus erweitert und ergänzt, um die Dinge, die nicht gesagt werden können - sondern gefühlt werden müssen.

Diese Position teilte Ludwig Wittgenstein. Als Ingenieur war ihm eine klare Sprache und klare Strukturen von elementarer Wichtigkeit. Gemeinsam mit Frege, Whitehead und Russell steht er für die Urheberschaft des linguistic turn: Alle Philosophie ist Sprachkritik. Denken und Sprache erklären die Welt jeweils bloss nach Massgabe der eigenen Sprachspiele. Philosophen sollten sich also primär darum bemühen, die Regeln des Sprachgebrauches in den verschiedenen <Sprachspielen> verständlich zu machen.

Ziel Präzisionssprache, Gott sei dank gescheitert, denn sonst gäbe es keine Zweideutigkeiten mehr und damit keinen Zynismus, keine Metaphern, Allusionen, Homonymien, Ironie, Metonymie, Allegorie, Satire. Ein Satz wie "ich sehe schwarz" war Wittgenstein ein Greuel, da er ebenso eine totale Farbenblindheit wie auch bloss eine pessimistische Einstellung ausdrücken kann, was sich erst durch den Kontext klären lässt.

Sprache dient der Verständigung, der Begegnung, der Uebereinkunft, Planung etc. Wittgenstein & Co sahen Sprache als alleiniges Erkenntnis-Instrument und bewerteten ihre Tauglichkeit nach der Logik. Die in der Lebenswelt verwendete Sprache ist allerdings eher selten logisch. So fiel der soziale Kontext weg. Sprache sollte die logische Struktur der Wirklichkeit spiegeln. Präzise darauf basiert der Strukturalismus.

Der linguistic turn bezeichnet, in eher volkstümlicher Auffassung, eine verstärkte Hinwendung zum Phänomen der Sprache und ihrer Bedeutung . Ein anschauliches Beispiel für die Hinwendung zur Sprache bietet die durch George Edward Moore angeregte Entwicklung der Metaethik: Nicht die Frage nach dem Guten steht im Zentrum dieser „Ethik“, sondern die Frage, welcher Art der Begriff „gut“ eigentlich ist. Ist er auf präskriptive (vorschreibende) Ausdrücke, zum Beispiel „sollen“, oder auf deskriptive (beschreibende) Ausdrücke, zum Beispiel „nützlich“, zurückzuführen?

In der von Gottlob Frege, Ludwig Wittgenstein und Bertrand Russell geprägten Analytischen Philosophie wurde Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts versucht, Sprache systematisch zu analysieren. Mit Hilfe einer eindeutigen und widerspruchsfreien, an die Mathematik angelehnten künstlichen Sprache sollten zahlreiche philosophische Probleme der Tradition besser begriffen und zum Teil auch, wie im Falle einiger Paradoxa, aufgelöst werden. In der Folge etablierte sich die Sprachphilosophie als eigenständige Disziplin.

Der herkömmlichen Vorstellung zufolge funktionieren Wörter nämlich wie Etiketten: Es gibt zuerst den wirklichen Stuhl, dann das Vorstellungsbild 'Stuhl' (das Signifikat), dann das Wort "Stuhl" (den Signifikanten).

Schon 1915 konnte demgegenüber der Genfer Linguist Ferdinand de Saussure zeigen, dass die Signifikanten nicht 'Abbilder' der Signifikate sind, sondern dass Bedeutung vielmehr auf einer internen Differenzierung zwischen den Signifikanten selbst beruht. Sprache ist ein tendenziell autonomes System, das mit dem von ihm Bezeichneten nur willkürlich (arbiträr) verknüpft ist. Saussure gilt sowohl als einflussreichster Begründer der modernen Linguistik wie auch als Wegbereiter des Strukturalismus, der Semiotik und damit des Linguistic Turn.

Allen gemeinsam ist eine grundlegende Skepsis gegenüber der Vorstellung, Sprache sei ein transparentes Medium zur Erfassung und Kommunikation von Wirklichkeit. Diese Sicht wird durch die Auffassung von Sprache als unhintergehbare Bedingung des Denkens ersetzt. Danach ist alle menschliche Erkenntnis durch Sprache strukturiert; Wirklichkeit jenseits von Sprache ist nicht existent oder zumindest unerreichbar. Wichtigste Folgen sind, daß Reflexion des Denkens, besonders die Philosophie, damit zur Sprachkritik wird und daß Reflexion sprachlicher Formen, auch der Literatur, nur unter den Bedingungen des reflektierten Gegenstandes, eben der Sprache, geschehen kann.“

[Ein Versuch, Denken und Sprache, inklusive ihrer jeweiligen Perspektivität, ihres Koordinatensystems, Zentrums und Metrik zu präsentieren, findet zur Zeit statt unter www.topologie.ch ]

spatial turn - topologische Wende

Mit dem spatial turn soll seit Ende der 80er Jahre nun wieder der Raum, statt bloss Zeit oder gar Sprache Element der Kulturforschung sein. Eine äusserst umfangreiche Website dazu, mit Schwerpunkt der Topologie in der Japanischen Philosophie, findet sich unter: Die topologische Wende im 21. Jahrhundert oder www.topische-wende.de (Thomas Latka, München).

Vom "Sein" zur Ko-Kreation

Hinter dem topischen Gedanken, steckt die Überzeugung dass weniger das "Sein" eine grundlegende Rolle in der Betrachtung von Phänomenen eine Rolle spielt, sondern eher das "Darin-Sein", also in dem Verhältnis der Einbeziehung als dem des Gegenüberstehens. Dieses "Darin-Sein" ist weniger eine mengentheoretische Zugehörigkeit im Sinne von "Menge A ist Submenge von Menge B", sondern eine Teilhabe an ein einem gemeinschaftlichen Prozess. Diese Prozess der Ko-Kreation, also der gemeinschaftlichen Erschaffung, ist ein zentraler Prozess des topischen Paradigmas. Ko-Kreationen fanden und finden schon längst überall statt, wurden aber allzuhäufig auf die Leistungen einzelner reduziert. Die topologische Wende soll dafür sorgen, den Blick auf das Feld zu richten, in dem alle Beteiligten eines gemeinschaftlichen Prozesses miteinander verbunden sind.

Raumverständnis

Absoluter Raum als Behälter > relativer Raum als Menge > relationaler Raum als Netz> topischer Raum als Atmosphäre/Feld

Ein topischen Sozialsystem-Modell beruht auf einem sozial erlebbaren Raum, welcher als soziales Feld bzw. Atmosphäre erfahrbar wird. Im Unterschied zum rein relationalen Raumverständnis wird der Raum nicht primär als ein Relationsgefüge verstanden, sondern vor allem als ein durch die Raumpunkte aufgespanntes Feld.

Auch Bourdieu nutzt den topologischen Ansatz intensiv, ohne sich expressis verbis darauf zu beziehen. Er sieht den Habitus als individuellen Lebensraum, dessen intrinsische und relationale Merkmale ein Erzeugungs- und Strukturierungsprinzip von Praxisformen und Repräsentationen bezeichnen. Also nochmals, vielleicht etwas verständlicher: Der Habitus ist die Form oder der Raum, der, ähnlich wie die DNS die Entwicklung eines Organismus, die strukturelle Entwicklung des Individuums steuert - wobei er allerdings auch bewusst oder unbewusst umgeprägt werden kann.

Gerade weil sich für Bourdieu das Feld nicht auf die darin sich vollziehenden Interaktionen reduzieren lässt, fordert er, das Feld als eigene Wirkungsgröße zu beachten und in den „Mittelpunkt der Forschungsoperationen"[779]zu stellen. Mit dieser Forderung reiht sich Bourdieu ein in das soziologische Bemühen um die Weiterentwicklung eines topischen Raumverständnisses.

Wichtig ist die Topologie somit bei allen Untersuchungen der Soziologie und Sozialpsychologie die sich mit der/denLebenswelt(en) befassen, mit sozialem Raum und Klassen oder etwa der Stadt als Präsentationsraum, als show-room oder social fabric (Webstoff).

Die vermeintliche natürliche geographische Wirklichkeit wird damit nicht länger als vorgängig und voraussetzungslos, sondern im Gegenteil als gesellschaftlich produziert und hoch voraussetzungsvoll begriffen. Handlungsbedeutsame Sinnstrukturen oder Bilder, die sich ein vorwaltender kultureller Konsens von der Welt gemacht hat.

Anders ausgedrückt: Kultur ist ein Zeichensystem, dass die gesellschaftliche Wirklichkeit konstituiert und gleichzeitig differenziert ( Raymond Williams). Sie ist eine Chiffre für die Anerkennung unterschiedlicher Stellen, Orte oder Standpunkte, von denen aus Bedeutung in kontextspezifischer Art und Weise produziert wird. (s. z.B. Saids Beschreibung des: Orientalismus).

Utopien dagegen sind Nicht-Räume. Die Utopie ist das Fremde, Andersartige - der Nicht-Ort, das Ausser-Ordentliche, das sich bestehender Ordnung entzieht gleich einem weissen Flecken auf der Karte - der hier allerdings nicht ent-deckt werden kann. Eben solche Un-Räume sind der Fremde, der Aussenseiter, topos xenos - Sokrates, der Fremdling in der eigenen Welt

Utopien sind Orte ohne realen Ort. Es sind Orte, die in einem allgemeinen, direkten oder entgegengesetzten Analogieverhältnis zum realen Raum der Gesellschaft stehen. Sie sind entweder das vervollkommnende Bild oder das Gegenbild der Gesellschaft. (Foucault)

Heidegger bezeichnete die Ortschaft des Wesens = Topologie des Seins

Spencer-Brown's Laws of Form: Begrenzter, unterschiedener Raum. Man kann in der Begrenzung und Ergänzung des Bedeutungsraumes duch den ausgegrenzenten und ausgeschlossenen Raum eine erste, einfache Form der Topologie sehen, einen erster Schritt topographischer Verortung. Der durch den verwendeten Ausdruck markierte Raum wird ergänzt um den unmarkierten, womit die Gesamtform wieder hergestellt ist.

Mein eigener erster topologischer Ansatz hiess Weltbildforschung.

Die Charakterisierung der Philosophie durch Alain Badiou zeigt ebenfalls eine primär topische Ausrichtung:

Philosophie ist denkende Auffassung der Ausübungsbedingungen des Denkens in dessen verschiedenen Registern.