(Mathematische) Definition der Topologie (die philosophische wird hier so nach und nach entwickelt werden):

1. Topologie ist die "Geometrie der Lage". Sie besteht aus den Teilgebieten algebraische, mengentheoretische und analytische Topologie.
2. Topologie beschäftigt sich mit dem Studium von räumlichen Objekten, wie Kurven, Flächen, dem Raum, den wir unser Universium nennen, Fraktalen, Knoten, Verzweigungen (Objekten mit einigen gleichen räumlichen Eigenschaften, wie unser Universum).
3. Topologie ist das mathematische Studium von Eigenschaften von Objekten, die deformiert, verdreht und gedehnt wurden. (Knicken ist nicht erlaubt.) Ein Kreis ist topologisch äquivalent zu einer Ellipse (in die er durch dehnen verändert werden kann). Die mathematische Topologie wäre eher als Formlehre zu bezeichnen, ein Gebiet das nach der Bearbeitung der reinen Topologie hier weiter behandelt wird.

Wenn zwei Objekte die gleichen topologischen Eigenschaften haben, sind sie homöomorph. Obwohl, streng gesprochen, Eigenschaften, die nicht durch Dehnung und Verzerrung eines Objektes zerstört wurden, sind echte Eigenschaften, die durch Isotopie, nicht Homöomorphie, erhalten wurden; Isotopie hat mit der Verzerrung von projezierten Objekten zu tun, wobei Homöomorphie innerlich ist.

In der Topologie geht es kurz gesagt darum, die Entsprechungen im Verschiedenen zu beschreiben oder um die Identifikation einander ähnlicher Strukturen. Mathematische Topologie hat heute vor allem Netze zum Gegenstand (s. Netzwerke), oder sie vergleicht räumliche Gebilde miteinander. Sie kann ebenfalls mengentheoretisch gefasst werden und Gruppen von <Elementen> oder im Sinne der n-dimensionalen Beschreibung <Mannigfaltigkeiten> bestimmen.

[Stephan Günzel: Topologie. Zur Raumeschreibung in den Kultur- und Medienwissenschaften. transcript. Kultur- und Medientheorie. Bielefeld. 2007]

Topologie als Mengenlehre

Formal korrekt ist ein topologischer Raum das Paar (X,T) aus der strukturtragenden Menge X und dem strukturdefinierenden System T (der „Topologie“) von Teilmengen.

In einem topologischen Raum hat jeder Punkt x einen Filter U(x) von Umgebungen. Damit lässt sich der intuitive Begriff von „Nähe“ mathematisch fassen. Auch dieser Begriff kann einer Definition des Topologischen Raums zugrunde gelegt werden.

Glossar der Topologie / 2:

Abschluss: Räume können offen (die Fläche zwischen zwei Geraden, der dreidimensionale Raum per se) oder geschlossen sein (die Kugel, der Vierdimensionale Raum - über die Licht- und Zeitkrümmung).

Definition Raum: Mengen, die mit einer Struktur versehen sind - und Umgebung - Basis: Ein Element das in allen Umgebungsmengen vorkommt. Alle Umgebungen einer Menge werden Filter genannt.

• topologischer Raum
• metrischer Raum: Raum aus Elementen, denen ein Abstand zugeordnet werden kann (was absurd tönen mag, aber z.B. bei den Räumen die von Elektronen oder andern Basiselementen des Atoms gebildet wird, auf Grund der Heisenbergschen Unschärferelation nicht möglich ist.

Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

In einem Metrischen Raum (M, d) ergibt sich der Umgebungsbegriff aus der Metrik d: Man definiert die sogenannten ε-Umgebungen. Für jeden Punkt x des Raums M und jede positive reelle Zahl ε wird definiert:

Die so definierte ε-Umgebung von x wird auch offene ε-Kugel um x oder offener Ball genannt.

Hier wird's für die Meisten vermutlich so langsam aber sicher zu kompliziert, drum hier nochmals eine Kurzfassung, warum Raum und Ort von Bedeutung sind, von prioritärer Bedeutung in der zefledderten Geisteslandschaft der Postmoderne:

Im Raum herrscht gleichzeitige Präsenz, Kopräsenz Anwesenheit der Dinge an einem Ort. Der Raum hält Text und Kontext zusammen, bringt alle zum Zusammenspielen, hält alle zusammen.

Weiterführende Literatur/Links:

• Illustrationen: http://sketchesoftopology.wordpress.com/
• combinatorial topology (e.g. betti number) for the analysis of the web: s. auch simplicial complex (Punkte, Linien, Dreiecke), differential topology > differential geometry > Der Unterschied zwischen den beiden, 2, graphisch.
• mathematische Literatur rund um die Topologie

Topologie bei Computernetzwerken

Auch hier usurpieren die Computerwissenschaftler eine alten Begriff, der dadurch ziemlich banalisiert wird. Topologie wird vor allem verwendet zur Bezeichnung des Netzwerktyps, also eigentlich in der Bedeutung von Topographie.

	Vorteile	Nachteile
Linie:	deterministisch, hiearchisch, straff geordnet	bei Ausfall eines Elementes werden, ausser bei Endpunkten, auch andere von der Kommunikation abgetrennt. Alle Computer müssen laufen, da kein Bus, also ziemlich trottelige Organisation für Computernetzwerk..
Bus:	Der Ausfall eines Rechners hat keine Konsequenzen Nur geringe Kosten, da nur geringe Kabelmengen erforderlich sind Einfache Verkabelung und Netzerweiterung Es werden keine weiteren Rechner zur Übermittlung der Daten benötigt	Alle Daten werden über ein einziges Kabel übertragen Datenübertragungen können leicht abgehört werden Eine Störung des Übertragungsmediums an einer einzigen Stelle im Bus (defektes Kabel) blockiert den gesamten Netzstrang Es kann immer nur eine Station Daten senden. Während der Sendung sind alle anderen blockiert (Datenstau)
Baum:	Der Ausfall eines Endgeräts hat keine Konsequenzen Strukturelle Erweiterbarkeit Große Entfernungen realisierbar (Kombination) Gute Eignung für Such- und Sortieralgorithmen	Bei Ausfall eines Verteilers (Wurzel) ist der ganze davon ausgehende (Unter)Baum des Verteilers "tot" Zur Wurzel hin kann es bedingt durch die für Bäume definierte Bisektionsweite von 1 zu Engpässen kommen, da zur Kommunikation von der einen unteren Baumhälfte in die andere Hälfte immer über die Wurzel gegangen werden muss Bäume haben mit zunehmender Tiefe (=Anzahl der zu gehenden Links von der Wurzel bis zu einem Blatt) einen sehr hohen Durchmesser. Dies führt in Verbindung mit der Bisektionsweite zu schlechten Latenzeigenschaften bei klassischen Bäumen
Ring:	Deterministische Rechnernetzkommunikation - Vorgänger und Nachfolger sind definiert Alle Stationen arbeiten als Verstärker Keine Kollisionen Alle Rechner haben gleiche Zugriffsmöglichkeiten Garantierte Übertragungsbandbreite Skaliert sehr gut, Grad bleibt bei Erweiterung konstant Reguläre Topologie, daher leicht programmierbar	Der Ausfall eines Endgerätes kann dazu führt, dass die gesamte Netzkommunikation unterbrochen wird Relativ hoher Durchmesser, d.h. hohe Latenzen zu entfernten Knoten Hoher Verkabelungsaufwand
Stern:	Der Ausfall eines Endgerätes hat keine Auswirkung auf den Rest des Netzes. Leicht erweiterbar Leicht verständlich Leichte Fehlersuche	Durch Ausfall des Verteilers wird Netzverkehr unmöglich
Gitter:	beide realisierbar duch Intra- und/oder Internet theoretisch vollständige Abdeckung aller wichtigen Felder	Isolation der Zelle - wenn sie sich an vorgeschriebene Verkehrswege hält
Volle Verbindung	nichts bleibt verborgen	fehlende Ausrichtung, Belieibigkeit der Informationsflüsse

Bisektionsweite

Die Bisektionsweite gibt die minimale Anzahl von Links an, die durchschnitten werden müssen, um ein Netz mit N Knoten in zwei Netze mit jeweils N/2 Knoten zu teilen. Damit ist sie ein Maß für die Leistungsfähigkeit eines Netzes, da in vielen Algorithmen die Knoten der einen Netzhälfte mit den Knoten der anderen Hälfte kommunizieren. Je niedriger also die Bisektionsweite, desto ungünstiger wirkt sich dies auf den Zeitbedarf für den Datenaustausch zwischen beiden Netzhälften aus.

Konnektivität

Die Konnektivität gibt die minimale Anzahl von Knoten oder Links (Kanten- bzw. Knotenkonnektivität) an, die durchtrennt werden müssen, damit das Netz als solches nicht mehr funktionstüchtig ist. Sie ist ein Maß für die Anzahl der unabhängigen Wege, die es zwischen zwei verschiedenen Knoten geben kann. Damit beschreibt sie auch die Ausfallsicherheit des Netzes, d.h. je höher die Konnektivität, desto ausfallsicherer ist das Netz.

 

Philosophische Topologie:

Wo ist das Zentrum (der Nullpunkt) des untersuchten Raumes (das Ich, der Stamm, die Nation, die Disziplin, die Erde, die Sonne, das Wissen, die Politik, die Wirtschaft ...), welches Koordinatensystem (kartesisch ...) wird verwendet, welche Metrik (oder Pseudometrik / allenfalls wäre hier noch eine qualitative Metrik zu schaffen: Das hat überhaupt nichts miteinander zu tun (unterschiedliche topologische Räume) - das liegt ja sooooo weit auseinander - das liegt ziemlich weit auseinander - das steht sich recht nahe - das ist doch praktisch das Selbe) und welche Projektion (längentreu, flächentreu, winkeltreu ...)