TOPOLOGIE

• Definitionen im Umfeld der Topologie
• Geschichte der topologischen Methodik
• Methodische Bausteine der Topologie - als räumlich geordnetem Denken
• Methodik
• Topologie in der Kunst

Mengenlehre

Geschaffen von G. Cantor als Theorie der unendlichen Mengen.

Menge: Gesamtheit, Sammlung, Ensemble, Kollektion, System, Familie, Klasse von Dingen

abgegrenzt durch Eigenschaften

Die Dinge, welche eine gegebene Menge bilden, heissen ihre Elemente.

a ist eine Element von x: a ∈ x

Elemente können dargestellt werden als Aufzählung, Liste, Tabelle, was allerdings nur bei endlichen, ja kleinen Gruppen möglich ist. Für unendliche Gruppen wird die charakterisierende Eigenschaft benutzt, z.B. die Menge aller geraden Zahlen. In den Wissenschaften wird hier meist der geometrische Ort verwendet ... womit wir bereits wieder bei der Topologie wären. So ist ein Kreis der geometrische Ort aller Punkte in einer Ebene, die von einem gegebenen festen Punkt die gleiche Entfernung haben. Geraden und Kurven sind Punkte in einer Ebene, die sich gesetzmässig nach einer Formel berechnen lassen, also wie Sinus, Sigma oder sonstwelche Kurven.

Selbst bei Dingen die klar scheinen, kann sich jedoch die Zuordnung zu einer Gruppe im Laufe der Zeit ändern. So wurde etwa der Planet Pluto von seiner Entdeckung 1930 bis zum 24. August 2006 ein Planet, und wurde dann zum Zwerkplaneten degradiert. Oder der Mensch, über 2000 Jahre Krone der Schöpfung, Sohn Gottes, von Darwin zum Affen gemacht.

Das Barbiersparadoxon: Ein Barbier ist jemand, der alle rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich nun selbst oder nicht? Tut er es, verstösst er eben so gegen die Definition, wie wenn er es nicht tut. Weiterentwicklung s. Russelsche Antinomie

Resultat obiger Analyse war also bloss, dass die Barbier's Definition eine leere Menge erzeugt: Ø

Meist lassen sich Mengen teilen in Untermengen oder Teilmengen mit präziseren, detaillierteren charakterisierenden Eigenschaften.

	K: Menge aller komplexen Zahlen P: Menge aller reellen Zahlen R: Menge der rationalen Zahlen G: Menge der ganzen Zahlen N: Menge der natürlichen Zahlen
x ist hier die Untermenge von y - y die Obermenge von x	Hier ist jede folgende Menge Untermenge der vorhergehenden: N ⊆ G ⊆ R ⊆ P ⊆ K

Die Durchschnittsmenge (d) oder das Produkt besteht aus genau denjenigen Elementen, die in jeder Menge enthalten sind. Symbol ∩

 

 

Die Vereinigungsmenge oder Summe der Mengen (A,B,C) besteht aus allen und nur den Elementen, die mindestens einer der Mengen (A,B,C) angehören. Symbol ∪

 

 

 

Die Differenzmenge bezeichnet jene Elemente, die nur einer Menge angehören. (z.B. A - B - C = A - (B ∪ C)

 

 

 

Das Komplement ist ein äusserst wichtiger Begriff, der beim Rechnen mit rationalen Zahlen fehlt.

A' = I - A bei A ≦ I / I = A + A' = universelle Menge

Hier allerdings gerät die naive Mengenlehre bereits an ihre Grenzen, da I ev. eben nur eine Uebermenge ist (meist der Fall) http://www.math.tu-berlin.de/~schneidr/Teach/pdf/script-grundlagen.pdf

Für den Gebrauch beim Denken hilfreicher ist hier das Formkalkül von Spencer-Brown, das, über eine Operation des Unterscheidens, jedem markierten Raum einen unmarkierten zuordnet, ohne gleich auf Universalität zu zielen..

Für Argumentation sogar im Alltagsgebrauch ist dies von höchster Wichtigkeit, da die meisten Streitereien durch zu banal universalisierte Aussagen entstehen: Ich ... und die andern, der Rest der Welt / Mein Recht ... scheiss auf die Pflichten / Wettbewerb ist toll ... die Verdrängten sind selbst schuld, zu schwach, lebensunwertes Leben ... etc.

Gesetzmässigkeiten des Rechnens mit rationalen Zahlen	mit Mengen	Boolsche Algebra
Kommutationsgesetz der Addition: a + b = b + a Assoziativgesetz der Addition (a + b) + c = a + (b + c) Eigenschaft der Null bei Addition a + 0 = a Eigenschaft des entgegengesetzten Elements a + (-a) = a - a = 0 Kommutativgesetz der Multiplikation a * b = b * a Assoziativgesetz der Multiplikation (a * b) * c = a * (b * c) Distributivgesetz a * (b + c) = ab + ac Eigenschaft der Eins bei Multiplikation und Division a * 1 = a ...... a / 1 = a	A ∪ B = B ∪ A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C A ∪ Ø = A / Ø = Ø A ∪ A' = A - A = 0             A ∩ I = A (I = Grundmenge)	Konjunktion: A ∧ B stimmt nur dann, wenn beide Aussagen wahr sind. Disjunktion: A ∨ B stimmt nur dann, wenn beide Aussagen falsch sind. Implikation: A → B ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

• Verhältniszeichen in html

Funktionen

Die Idee der Funktion wurde zwar bereits von Fermat und Descartes entwickelt, der Begriff aber erstmals 1694 von Leibnitz verwendet.

Definition von Johann Bernoulli 1718:

Funktion einer veränderlichen Grösse heisst die Menge der Grössen, die durch eine irgendwie gegebene Regel aus dieser veränderlichen Gröse und Konstanten berechnet werden.

Für die Mathematiker entstand nun ein Problem, da Bernoulli eine ganz andere Formel zur Schwingung von Saiten entwickelte als D'Alembert. Das Problem wurde erst durch Fourier gelöst, der zeigte, dass man die Summe einer unendlichen Reihe, deren Summanden trigonometrische Funktionen sind, über verschiedenen Teilen des Definitionsbereiches durch verschiedene Formeln darstellen kann. s. Fourier-Transformationen

Leonhard Euler:

Grössen, die von anderen so abhängen, dass bei einer Veränderung de zweiten auch die ersten geändert werden, bezeichnet man gewöhnlich als Funktionen.

Schuldefinition heute (von Lobatschewski, Dirichlet, Lacroix):

Die veränderliche Grösse y heisst Funktion der veränderlichen Grösse x, wenn jedem Zahlenwert der Grösse x ein eindeutig bestimmter Wert der Grösse y entspricht.

Häufig ergab sich die praktische Anwendbarkeit (d.h. praktisch ist hier relativ, für Physik, Chemie, Biologie etc.) mathematischer Erkenntnisse wie Formeln erst sekundär. Die Frage, was stimmt, ist also auch hier häufig eine Huhn-und-Ei-Frage. Während dem einerseits kaum in Frage gestellt werden kann, dass die Natur recht hat, zeigen Abweichungen vom regelhaften Verhalten eben oft Einflüsse, die gar nicht in Betracht gezogen wurden. Mittels solcher Abweichungen von der idealen Bahn der Planeten konnten dann z.B. weitere Planeten gefunden werden.

Vektoren

Feldtheorie

Felder werden vor allem in der Physik verwendet, wo Kräfte zwar vorhanden und wirksam, aber unsichtbar sind, also in der elektromagetische Felder und Gravitation.

Felder können nur bestimmt werden auf Grund der Auswirkung der Kraft/Energie/Spannung auf einen Körper der sich innerhalb des Feldes befindet, also phänomenologisch.

Hartmann Römer/ Michael Forger: Elementare Feldtheorie. Elektrodynamik, Hydrodynamik, Spezielle Relativitätstheorie [http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/405/pdf/efeld1.pdf]

Was zu Newtons Zeiten Befremden und auch bei ihm selbst ein gewisses Unbehagen hervorgerufen hatte, da namlich die Gravitationskraft nach dem Newtonschen Gesetz ohne Zeitverzogerung uber beliebige Raumabstande hinweg wirksam wird, das erschien vielen nunmehr { nach mehr als einem Jahrhundert der Gewohnung { als ganz naturlich, ja geradezu als Kennzeichen einer wirklich wissenschaftlichen Beschreibung.

Es ist ein Kennzeichen der neueren Physik, dass der Begriff des Feldes ganz in den Vordergrund getreten ist, wahrend das Punktteilchenkonzept teils in den Rang einer { unter gewissen Umstanden zweckmaligen { Naherung zuruckgefallen ist, teils in der Quantentheorie der Felder im Sinne eines Welle-Teilchen-Dualismus
eine gewisse Berechtigung behalten hat. Heute kennt man neben den elektromagnetischen und den gravitativen Kraften
noch zwei weitere fundamentale Arten der Wechselwirkung, namlich die sog. starke Wechselwirkung, die u.a. fur den Zusammenhalt der Atomkerne sorgt, und die sog. schwache Wechselwirkung, die u.a. fur das Phanomen der Beta-Radioaktivitat verantwortlich ist und aufgrund derer beispielsweise gewisse Zerfalle von Elementarteilchen erst moglich sind.

Zu betonen ist schliesslich, dass die Feldtheorie keineswegs nur fur die genannten fundamentalen Felder und die Elementarteilchentheorie bedeutsam ist. Ganz im Gegenteil ist in der uns umgebenden makroskopischen Welt die klassische Feldtheorie das einzige brauchbare Mittel zur Beschreibung kontinuierlicher Systeme. Die Stromung von Flussigkeiten und Gasen, der Transport von Warme, die Optik, die mannigfachen Vorgange bei Mischungen und chemischen Umsetzungen, das Verhalten von Plasmen und Elektrolyten, kurz, die ganze Fulle makroskopischer Erscheinungen, von Laborexperimenten bis zur Meteorologie und zur Astrophysik, wird erst mit den Begrien und Methoden der Feldtheorie zuganglich.

In mathematischer Sprache ist ein Feld, oder genauer eine Feldkonfiguration, einfach eine Abbildung des Raumes { oder allgemeiner bei zeitabhangigen Feldern und besonders im Rahmen der Relativitätstheorie der Raum-Zeit { in eine Menge F, die die moglichen Werte des Feldes beschreibt. Die Struktur dieses Wertebereichs F ist dabei nicht von vornherein festgelegt, sondern hangt von der Natur des Feldes ab. Fur ein Druck-, Temperatur- oder Dichtefeld beispielsweise ist F die Menge R+ der nicht-negativen reellen Zahlen, fur ein Stromungsfeld ist F ein dreidimensionaler
Vektorraum. Die Feldtheorie beschaftigt sich nun, ganz allgemein gesprochen, mit dem Problem, die physikalisch moglichen Feldkonfigurationen zu charakterisieren und ihre zeitliche Entwicklung zu berechnen. Schon hieraus geht hervor, dass Felder { im Gegensatz zu Systemen von Punktteilchen { Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden sind, da ja der Zustand eines Feldsystems erst durch die Gesamtheit der Werte des Feldes in jedem Raumpunkt bestimmt ist.

Prädikatenlogik

Prädikatenlogik oder Quantorenlogik ist eine Familie logischer Systeme, die es erlauben, einen weiten und in der Praxis vieler Wissenschaften und deren Anwendungen wichtigen Bereich von Argumenten zu formalisieren und auf ihre Gültigkeit zu überprüfen. Auf Grund dieser Eigenschaft spielt die Prädikatenlogik eine große Rolle in der formalen und nicht formalen Logik sowie in Mathematik, Informatik, Linguistik und Philosophie.

Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. In der Aussagenlogik werden zusammengesetzte Aussagen daraufhin untersucht, aus welchen einfacheren Aussagen sie mit Hilfe von aussageverknüpfenden Bindewörtern – in der Logik: Junktoren – zusammengesetzt sind.

Ein Prädikat in diesem prädikatenlogischen Sinn ist eine Folge von Wörtern mit klar definierten Leerstellen (Auslassungen), die zu einer – wahren oder falschen – Aussage wird, wenn in jede Leerstelle ein Eigenname eingesetzt wird. Zum Beispiel ist die deutsche Wortfolge „_ ist ein Mensch“ ein Prädikat, weil durch Einsetzen eines Eigennamens – etwa „Sokrates“ – ein Aussagesatz, zum Beispiel „Sokrates ist ein Mensch“, entsteht.

Das charakteristische und wichtigste Sprachmittel der Prädikatenlogik ist der Quantor oder Quantifikator. Quantoren erlauben es, Aussagen darüber zu machen, auf wie viele Individuen ein Prädikat zutrifft. Der Allquantor oder Universalquantifikator sagt aus, dass ein Prädikat auf alle Individuen zutrifft; der Existenzquantor oder Existenzialquantifikator sagt aus, dass ein Prädikat auf mindestens ein Individuum zutrifft.

Der Existenzquantor wird in halbformaler Sprache als „es gibt mindestens ein Ding, sodass...“ oder „es gibt mindestens ein Ding, für das gilt...“ ausgedrückt. In formaler Sprache werden die Zeichen oder verwendet. Der Allquantor wird in halbformaler Sprache als „Für jedes Ding gilt: ...“ ausgedrückt, in formaler Sprache durch eines der Zeichen oder .

 

neuer:

Klassische Logig oder Begriffslogik

Von größerer Bedeutung für die begriffslogische Praxis ist die Unterscheidung zwischen Inhalt („Intension“) und Umfang („Extension“) eines Begriffs.

In einer Begriffslogik werden aus den Begriffen Aussagesätze (veraltend auch Urteile genannt) gebildet, die eine Aussage über das Verhältnis zweier oder mehrerer Begriffe zueinander treffen.

Die aus den Begriffen gebildeten Urteile werden auch in der Begriffslogik zu Schlüssen (Argumenten) zusammengesetzt.

Bis heute hat keines der modernen begrifflogischen Systeme spürbaren Einfluss auf Logik, Mathematik, Philosophie oder Wissenschaftstheorie ausgeübt. - Wir müssen uns also nicht all zu sehr damit aufhalten.

Dies um so mehr als Wittgenstein zwar a) gesagt hat, wovon man nicht reden könne, darüber müsse man schweigen, b) aber das Schweigen dann doch beredt gemacht hat in dem er Zeigen zuliess, was von Karls Jaspers in seinem monumentalen Werk "Von der Wahrheit" dann eben doch wieder zur Deutung der transzendentalen Chiffrenschrift wurde ... womit wir wieder am Anfang wären.